martes, 26 de marzo de 2013

INTRODUCCIÓN AL ALGEBRA

EL ALGEBRA

La historia del álgebra comenzó en el antiguo Egipto y Babilonia, (siglo XVII a.C.) donde fueron capaces de resolver ecuaciones lineales (ax = b) y cuadráticas (ax2 + bx = c), así como ecuaciones indeterminadas como x2 + y2 = z2, con varias incógnitas. Los antiguos babilonios resolvían cualquier ecuación cuadrática empleando esencialmente los mismos métodos que hoy se enseñan.

En el siglo XVI a.c. los egipcios desarrollaron un álgebra muy elemental que usaron para resolver problemas cotidianos que tenían que ver con la repartición de víveres, de  cosechas y de materiales. Ya para entonces tenían un método para resolver ecuaciones de primer grado que se llamaba el "método de la falsa posición". No tenían notación simbólica pero utilizaron el jeroglífico hau (que quiere decir montón o pila) para designar la incógnita.

Los matemáticos alejandrinos Herón y Diofante continuaron con la tradición de Egipto y Babilonia, aunque el libro Las aritméticas de Diofante es de bastante más nivel y presenta muchas soluciones sorprendentes para ecuaciones indeterminadas difíciles. Esta antigua sabiduría sobre resolución de ecuaciones encontró, a su vez, acogida en el mundo islámico, en donde se la llamó “ciencia de reducción y equilibrio”.


La palabra árabe al- abr que significa `reducción', es el origen de la palabra álgebra


En el siglo IX, el matemático al-Jwarizmi escribió uno de los primeros libros árabes de álgebra, una presentación sistemática de la teoría fundamental de ecuaciones, con ejemplos y demostraciones incluidas. 

A finales del siglo IX, el matemático egipcio Abu Kamil enunció y demostró las leyes fundamentales e identidades del álgebra, y resolvió problemas tan complicados como encontrar las x, y, z que cumplen x + y + z = 10, x2 + y2 = z2, y xz = y2.

En el siglo VII los hindúes habían desarrollado ya las reglas algebraicas fundamentales para manejar números positivos y negativos.

La primera representación del cero, aparece en la ciudad hindú de Gwalior, a 400 kilómetros de Nueva Delhi, s a finales del siglo IX en un pequeño templo dedicado al dios Visnú.

Aunque los hindúes llevaban desde el siglo I trabajando con un sistema de numeración en base decimal, al principio sólo los números del uno al nueve tenían un símbolo particular. De hecho, al principio escribían el nombre de los números y, si la cifra era mayor que 9, utilizaban las distintas potencias de diez, cada una de las cuales tenía un nombre diferente, como ocurre hoy en día; diez, cien, mil, diez mil,…

El primer documento oficial que lo usa lleva la fecha 346 en el calendario Chedii, que se corresponde con nuestro año 594. Los estudiosos admiten que el uso de la notación posicional ya debía estar extendido en la India a partir del año 400 d.C.

En sus viajes a la India, los mercaderes árabes conocieron el cero y lo trajeron luego a la civilización occidental. También algunos matemáticos árabes contribuyeron, como Al Juarismi o Ibn Ezra, contribuyeron a la difusión de los hallazgos hindúes. La palabra que se usaba en sánscrito, “shunya”, se tradujo al árabe como “sifr” y luego se convirtió en nuestro cero a través del italiano. Y así fue cómo ha llegado hasta nuestros días el sistema de numeración decimal que todavía usamos hoy.


La noción del cero como concepto matemático y como concepto filosófico están relacionados pero no son lo mismo. La nada desempeña un papel central a principios del pensamiento indio (allí llamado sunya), y encontramos esta especulación en virtualmente todos los mitos cosmológicos sobre qué debe haber precedido a la creación del mundo. Como en el Génesis de la Biblia (1: 2): “Y la tierra estaba sin forma, y vacío.”

Pero nuestra resistencia a concebir tal vacío se refleja bien en el libro de Job, que no puedes contestar cuándo Dios le pregunta (Job 38:4): ¿“¿Dónde estabas cuando yo fundaba la tierra? Indícalo  si eres capaz de entender.” Las teorías físicas de nuestra propia era sobre el Big Bang no pueden alcanzar un último principio de nada–aunque en matemáticas podemos generar todos los números de un sistema vacíoLa nada como estado fuera del cual solamente podemos vivir libremente nuestra propia naturaleza miente al corazón del existencialismo, que prosperó en el siglo 20.

En 1202, después de viajar al norte de África y a Oriente, donde aprendió el manejo del sistema de numeración indo-arábigo, Fibonacci publicó el Liber Abaci (Tratado del Ábaco) obra que en los siguientes tres siglos fue la fuente principal para todos aquellos estudiosos de la aritmética y el álgebra.
En el siglo XV, el matemático francés Nicolás Chuquet introdujo en Europa occidental el uso de los números negativos, introdujo además una notación exponencial muy parecida a la que usamos hoy en día, en la cual se utilizan indistintamente exponentes positivos o negativos.
En 1489 el matemático alemán Johann Widmann d´Eger inventó los símbolos "+" y "-" para sustituir las letras "p" y "m" que a su vez eran las iniciales de las palabras piu (más) y minus (menos) que se utilizaban para expresar la suma y la resta.

En 1525, el matemático alemán Christoph Rudolff introdujo el símbolo de la raíz cuadrada que usamos hoy en día: 

Este símbolo era una forma estilizada de la letra "r" de radical o raíz.
Entre 1545 y 1560, los matemáticos italianos Girolamo Cardano y Rafael Bombelli se dieron cuenta de que el uso de los números imaginarios era indispensable para poder resolver todas las ecuaciones de segundo, tercero y cuarto grado.
En 1557 el matemático inglés Robert Recorde inventó el símbolo de la igualdad, =.
En 1591 el matemático francés François Viète desarrolló una notación algebraica muy cómoda, representaba las incógnitas con  vocales y las constantes con consonantes.
En 1637 el matemático francés René Descartes fusionó la  geometría y el álgebra inventando la "geometría analítica". Inventó la notación algebraica moderna, en la cual las constantes están representadas por las primeras letras del alfabeto, a, b, c, … y las variables o incógnitas por las últimas, x, y, z. Introdujo también la notación exponencial que usamos hoy en día.

A principios del siglo XVI los matemáticos italianos Scipione del Ferro, Tartaglia y Gerolamo Cardano resolvieron la ecuación cúbica general en función de las constantes que aparecen en la ecuación. Ludovico Ferrari, alumno de Cardano, pronto encontró la solución exacta para la ecuación de cuarto grado y, como consecuencia, ciertos matemáticos de los siglos posteriores intentaron encontrar la fórmula de las raíces de las ecuaciones de quinto grado y superior.

Sin embargo, a principios del siglo XIX el matemático noruego Niels Abel y el francés Évariste Galois demostraron la inexistencia de dicha fórmula.

Un avance importante en el álgebra fue la introducción, en el siglo XVI, de símbolos para las incógnitas y para las operaciones y potencias algebraicas. Debido a este avance, el Libro III de la Geometría (1637), escrito por el matemático y filósofo francés René Descartes se parece bastante a un texto moderno de álgebra. Sin embargo, la contribución más importante de Descartes a las matemáticas fue el descubrimiento de la geometría analítica, que reduce la resolución de problemas geométricos a la resolución de problemas algebraicos.

Durante el siglo XVIII se continuó trabajando en la teoría de ecuaciones y en 1799 el matemático alemán Karl Fredrich Gauss publicó la demostración de que toda ecuación polinómica tiene al menos una raíz en el plano complejo (números complejos).

Ver video  http://es.wikipedia.org/wiki/Al-Juarismi