DESARROLLO TEÓRICO DEL 2º QUIMESTRE

CLASE DEL SÁBADO 16 DE MARZO
TEMA: OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS
CONTENIDO: SUMA ALGEBRAICA, MULTIPLICACIONES, DIVISIONES, POTENCIAS, CON PARÉNTESIS DIVERSOS
DESARROLLO:

NÚMEROS ENTEROS

Los números enteros están compuestos de los naturales, el cero y los naturales negativos.  tradicionalmente se es nombra como "naturales" ya que son la forma natural de contar.

Estos números se los puede representar en la recta numérica, y cualquier operación con ellos, siempre dará otro número entero.  todos los números naturales siempre serán mayores que el cero y los naturales negativos.  Todo numero entero tiene un "opuesto" de manera que sumado con él, da como resultado cero:  a + (- a) = 0.

El cero no es número natural.

El signo negativo en la vida real, generalmente indica una "deuda"

Cuando se realizan este tipo de operaciones se sigue un orden determinado:

1. Se resuelven paréntesis empezando por los más internos
2. Se resuelven operaciones de potencias
3. Seguidamente se pueden resolver operaciones d€multiplicación y división
4. Después operaciones de suma y resta.

Este orden indicado, hay que tener un poco de sentido común, pues en ocasiones hay operaciones que se pueden realizar simultáneamente.

Ejemplo:  Calcula

8 - 11 + 7 - 12 + 5 - 6

Solución:  primero se separan positivos de negativos:

8 - 11 + 7 - 12 + 5 - 6 = 8 + 7 + 5 - 11 - 12 - 6.  

Se aplica la ley de signos, que dice: signos iguales se suman y la respuesta conserva el signo.

20 - 29.   

Se aplica la ley de signos, que dice: signos contrarios o diferentes se restan y la respuesta tendrá el signo de la cifra mayor.

Respuesta: - 9

Ejemplo.   Calcula

3 - 2 - (- 8) + 14 - 10 - 2 + (3 - 5)

Solución: Primero se resuelve los paréntesis indicados, teniendo en cuenta la ley de signos.

3 - 2 - (- 8) + 14 - 10 - 2 + (3 - 5) = 3 - 2 + 8 + 14 - 10 - 2 + (- 2)

Se separan positivos de negativos:

3 + 8 + 14 - 2 -10 - 2 - 2.  

Signos iguales se suman

25 - 16.

Signos contrarios se restan

Respuesta: 9

Ejemplo:   Calcula

5 . [8 - (2 + 3)] - (- 4) . [6 - (2 - 7)]

Solución:  Se empieza resolviendo paréntesis internos:

5 . [8 - (2 + 3)] - (- 4) . [6 - (2 - 7)] = 5 . [8 - 5] + 4 . [6 + 5]

                                                       = 5 . 3 + 4 . 11

                                                       = 15 + 44

                                     Respuesta   = 59

Ejemplo:   Calcula

(- 7) . [4 . (3 - 8) - 5 . (8 - 5)]

Solución:  Se empieza resolviendo paréntesis internos:

(- 7) . [4 . (3 - 8) - 5 . (8 - 5)] = (- 7) . [4 . (- 5) - 5 . 3]

                                               = (- 7) . [- 20 - 15]

                                               = (- 7) . (- 35)

                              Respuesta = 245
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CLASE DEL SÁBADO 23 DE MARZO
TEMA: PROPIEDADES DE POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN
CONTENIDO: RELACIÓN ENTRE LA POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN
DESARROLLO:

PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN

IDEAS FUNDAMENTALES 

La potenciación es una multiplicación de varios factores iguales, al igual que la multiplicación es una suma de varios sumandos iguales, (la potenciación se considera una multiplicación abreviada).  En la nomenclatura de la potenciación se diferencian dos partes, la base y el exponente, que se escribe en forma de superíndice. El exponente determina la cantidad de veces que la base se multiplica por sí misma. 

Potencia de números enteros

La potencia de exponente natural de un número entero es otro número entero, cuyo valor absoluto es el valor absoluto de la potencia y cuyo signo es el que se deduce de la aplicación de las siguientes reglas:

Las potencias de exponente par son siempre positivas.

(+)^par = +

(−)^par = +

Las potencias de exponente impar tienen el mismo signo de la base.

(+)^impar = +

(−)^impar = −

Propiedades de las potencias de números enteros

1 La potencia de 0 es igual a 1

a⁰ = 1

2 La potencia de 1 es igual a ese mismo número

a¹ = a

3 Producto de potencias con la misma base

Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes.

a^m · aⁿ = a^{m + n}

Ejemplo:

(−2)⁵ · (−2)² = (−2)^{5 + 2} = (−2)⁷ = −128

4 División de potencias con la misma base

Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes.

a^m : aⁿ = a^{m − n}

Ejemplo:

(−2)⁵ : (−2)² = (−2)^{5 − 2} = (−2)³ = −8

5 Potencia de una potencia

Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes.

(a^m)ⁿ = a^{m · n}

Ejemplo:

[(−2)³]² = (−2)⁶ = 64

6 Producto de potencias con el mismo exponente

Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el producto de las bases.

aⁿ · bⁿ = (a · b)ⁿ

Ejemplo:

(−2)³ · (3)³ = (−6)³ = −216

7 Cociente de potencias con el mismo exponente

Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de las bases.

aⁿ : bⁿ = (a : b)ⁿ

Ejemplo:

(−6)³ : 3³ = (−2)³ = −8

Ver video:  http://www.youtube.com/watch?v=qu2xaDVi3YQ

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PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN

GENERALIDADES

La radicación se define como la operación inversa de la potenciación. La potenciación es una expresión matemática que incluye dos términos denominados: base a y exponente n. así mismo la radicación junto con la logaritmación son operaciones inversas de la Potenciación Se escribe de la siguiente forma:

     Se lee como, “a elevado a n”

Para comprender mejor la definición de radicación, supongamos que nos dan un número a y nos piden calcular otro, de forma tal que, multiplicado por si mismo un número b de veces nos da el numero a. Por ejemplo si queremos averiguar qué número multiplicado por si mismo 2 veces da 196, obtenemos como resultado, 14.

Se llama raíz cuadrada de un número (algunas veces se abrevia como raíz a secas) a aquel otro que siendo mayor o igual que cero, elevado al cuadrado, es igual al primero. En la radicación El número que está dentro de la raíz se denomina radicando (a), el grado de una raíz se denomina índice del radical (n) el resultado se denomina coeficiente (b).

Las propiedades de la radicación son bastante parecidas a las propiedades de la potenciación, ya que una raíz es una potencia con exponente racional. Ejemplo de un radical en forma de potencia:

Propiedades de la radicación de números enteros

• Es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división.  Ejemplos:

En la división,

En la multiplicación,

• No es distributiva con respecto a la suma y a la resta.  Ejemplos:

En la suma,

En la resta

• Si el índice es par entonces el radicado tiene que ser positivo y la raíz entonces dos resultados, uno positivo y otro negativo, para este nivel utilizamos el resultado positivo.  Ejemplos,

*  Si el índice es impar entonces la raíz va a tener el mismo signo que el radicando.  Ejemplos:

*  Si tengo una raíz de raíz se multiplican los índices. Ejemplos:

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Ver video:  http://refuerzomatematicas7.blogspot.com/2012/03/propiedades-de-la-radicacion-de-numeros.html
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Ver enlace:  http://neetescuela.com/809/
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CLASE DEL SÁBADO 20 DE ABRIL
TEMA: ÁREA Y PERÍMETRO DE TRIÁNGULOS
CONTENIDO: ÁREA Y PERÍMETRO
DESARROLLO:

Un triángulo tiene tres lados y tres triángulos y se los clasifica por:

• Sus lados

1. Equilátero:  tiene 3 lados iguales
2. Isósceles:   tiene 2 lados iguales
3. Escaleno:   tiene 3 lados desiguales

• Sus ángulos

1. Rectángulo:   tiene un ángulo recto (90º) y 2 ángulos agudos (< 90º)
2. Acutángulo:   tiene tres ángulos agudos (< 90º)
3. Obtusángulo: tiene un ángulo obtuso (> 90º)

Recordar que la suma de los ángulos de cualquier triángulo es siempre 180º
Recordar que el perímetro es la suma de los lados del triángulo.

Área y perímetro de un triángulo

Perímetro de un triángulo

El perímetro de un triángulo es igual a la suma de sus tres lados.

Triángulo Equilátero	Triángulo Isósceles	Triángulo Escaleno

Área de un triángulo

El área de un triángulo es igual a base por altura partido por 2.

La altura es la recta perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto (o su prolongación).

Ejemplo

Hallar el área del siguiente triángulo:

Área de un triángulo equilátero

Ejemplo

Calcular el área de un triángulo equilátero de 10 cm de lado.

Área de un triángulo rectángulo

El área de un triángulo rectángulo es igual al producto de los catetos partido por 2.

Ejemplo

Calcular el área del triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4 cm.

Semiperímetro

El semiperímetro de un triángulo es igual a la suma de sus lados partido por 2.

Se nombra con la letra p.

Fórmula de Herón

La fórmula de Herón se utiliza para hallar el área de un triángulo conociendo sus tres lados.

Ejemplo

Hallar el área del triángulo cuyos lados miden 3, 4 y 5 cm.

CLASE DEL MIÉRCOLES 10 DE ABRIL/2013
TEMA: RECUPERACIÓN
CONTENIDO: NÚMEROS PRIMOS, CRITERIOS DIVISIBILIDAD Y FACTORES PRIMOS
DESARROLLO:

Asistieron estudiantes que les interesa en realidad aprender y desarrollar sus capacidades.  Gracias. 

Como requisito indispensable, solicito que se repase PLENAMENTE Y A CONCIENCIA, las "TABLAS DE MULTIPLICAR".  El temario visto es:

NÚMEROS PRIMOS

Un número primo es un número entero mayor que cero, que tiene exactamente dos divisores positivos. También podemos definirlo como aquel número entero positivo que no puede expresarse como producto de dos números enteros positivos más pequeños que él, o bien, como producto de dos enteros positivos de más de una forma. Conviene observar que con cualquiera de las dos definiciones el 1 queda excluido del conjunto de los números primos.

Ejemplos: 

a) El 7 es primo. Sus únicos divisores son 1 y 7. Sólo puede expresarse como producto de 7·1.

b) El 15 no es primo. Sus divisores son 1, 3, 5 y 15. Puede expresarse como 3·5. (y también como 15·1)

    

El término primo no significa que sean parientes de alguien. Deriva del latín "primus" que significa primero (protos en griego). El teorema fundamental de la aritmética afirma que todo número entero se expresa de forma única como producto de números primos. 

Por eso se les considera los "primeros", porque a partir de ellos obtenemos todos los demás números enteros. (El 15 se obtiene multiplicando los primos 3 y 5)

Los 25 primeros números primos menores que 100  son:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97

A continuación se da la tabla de los números primos menores a 1000

2	3	5	7	11	13	17	19	23	29	31	37	41	43	47	53	59	61	67
71	73	79	83	89	97	101	103	107	109	113	127	131	137	139	149	151	157	163
167	173	179	181	191	193	197	199	211	223	227	229	233	239	241	251	257	263	269
271	277	281	283	293	307	311	313	317	331	337	347	349	353	359	367	373	379	383
389	397	401	409	419	421	431	433	439	443	449	457	461	463	467	479	487	491	499
503	509	521	523	541	547	557	563	569	571	577	587	593	599	601	607	613	617	619
631	641	643	647	653	659	661	673	677	683	691	701	709	719	727	733	739	743	751
757	761	769	773	787	797	809	811	821	823	827	829	839	853	857	859	863	877	881
883	887	907	911	919	929	937	941	947	953	967	971	977	983	991	997

NOTA: La palabra "factor" en matemáticas, se refiere siempre a una "multiplicación".
            La palabra "multiplo" en matemáticas, se refiere a que se deja "dividir"  exactamente.

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

Estos criterios, permiten saber cuales son los divisores exactos de un número.

• Un número es divisible por   2,   cuando termina en cifra PAR o CERO

Ejemplo: 24 es divisible para 2, pues termina en 4, que es par

                1268 es divisible para 2, pues termina en 8, que es par

                111116 es divisible para 2, pues termina en 6, que es par

                35790 es divisible para 2, pues termina en 0

• Un número es divisible por   3,   cuando la suma de sus cifras es MÚLTIPLO DE 3

Ejemplo: 24 es divisible para 3, pues la suma de sus cifras (2 + 4 = 6) es un múltiplo de 3

                126 es divisible para 3, pues la suma de sus cifras (1+2+6 = 9) es un múltiplo de 3

                1111116 es divisible para 3, pues la suma de sus cifras (1+1+1+1+1++1+6 = 12) 

                               es un múltiplo de 3

                35760 es divisible para 3, pues la suma de sus cifras (3+5+7+6+0 = 21) es un múltiplo de 3

• Un número es divisible por   5,   cuando termina en cifra CINCO o CERO

Ejemplo: 20 es divisible para 5, pues termina en 0

                1265 es divisible para 5, pues termina en 5

                111115 es divisible para 5, pues termina en 5

                35795 es divisible para 5, pues termina en 5

DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES PRIMOS.

Descomponer un número en "FACTORES PRIMOS" consiste en expresarlo como el "PRODUCTO DE NÚMEROS PRIMOS"

Ejemplos:

37800   2
18900   2
  9450     2
  4725     3
  1575     3
    525     3
    175     5
     35      5
       7      7
       1

1890     2
  945     3
  315     3
  105     3
    35     5
      7     7
      1

20328 2
10164 2
  5082 2
  2541 3
    847 7
    121 11
      11 11
        1

51235 es un número primo, pues no tiene factores primos.

496947 es divisible para 3, 11 y 37, y es igual a:

496947

=

3

x

11²

x

37²

327301 es divisible para 11 y 31, y es igual a:

327701

=

11

x

31²

208537 es divisible para 7 y 31, y es igual a:

208537

=

7

x

31³

48763 es divisible para 11, 13 y 31, y es igual a:

48763

=

11²

x

13

x

31

47601 es divisible para 3, 41 y 43, y es igual a:

47601

=

3³

x

41

x

43

21901 es divisible para 11 y 181, y es igual a:

21901

=

11²

x

181

20677 es divisible para 23, 29 y 31.

13690 es divisible para 2, 5 y 37

5887 es divisible para 7 y 29

3887 es divisible para 13 y 23

NOTA: La siguiente clase de recuperación es el día viernes 12 de abril/2013, a partir de las 18H00 (6 de la tarde) hasta los 20H00 (8 de la noche).  favor llevar el deber resuelto de "Descomposición en Factores primos".  Gracias por su asistencia  pues demuestran responsabilidad, interés, capacidad y "ganas" de aprender y mejorar en su vida y entorno.  Por Favor, Repasar las TABLAS DE MULTIPLICAR, (aprendérselas de memoria), del 2 hasta el 11.

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CLASE DEL VIERNES 12 DE ABRIL/2013
TEMA: RECUPERACIÓN (2ª PARTE)
CONTENIDO: NÚMEROS Y LETRAS CON SIGNOS.
DESARROLLO:

Asistieron 9 estudiantes  que les interesa en realidad aprender y desarrollar sus capacidades.  Gracias. 

Como requisito indispensable, solicito que se repase PLENAMENTE Y A CONCIENCIA, las "TABLAS DE MULTIPLICAR Y LAS LEYES DE LOS SIGNOS".  El temario visto es:

NÚMEROS Y LETRAS CON SIGNOS

Todo número se puede representar en la recta numérica, teniendo en cuenta que los POSITIVOS se localizan a la derecha del CERO, y los NEGATIVOS se localizan a la izquierda del CERO.

·      SUMA DE DOS NÚMEROS POSITIVOS

Se suman como en aritmética, y se conserva el signo.

EJEMPLO:  (+ 3) + (+ 5) = + 8

·      SUMA DE DOS NÚMEROS NEGATIVOS

Se suman como en aritmética, y se conserva el signo.

EJEMPLO:  (– 3) + (– 5) = – 8

·      SUMA DE UN NÚMERO POSITIVO Y UN NÚMERO NEGATIVO Y VICEVERSA

Se restan como en aritmética, y la respuesta lleva el signo de la cifra mayor.

EJEMPLO:  (– 3) + (+ 5) = + 2

EJEMPLO:  (+ 3) + (– 5) = – 2

·      PRODUCTO DE DOS NÚMEROS POSITIVOS

Se multiplican como en aritmética, y la respuesta es positiva

EJEMPLO:  (+ 3) x (+ 5) = + 15

·      PRODUCTO DE DOS NÚMEROS NEGATIVOS

Se multiplican como en aritmética, y la respuesta es positiva

EJEMPLO:  (– 3) x (– 5) = + 15

  

·      MULTIPLICACIÓN DE UN NÚMERO POSITIVO

Y UN NÚMERO NEGATIVO Y VICEVERSA

Se multiplican como en aritmética, y la respuesta es negativa.

EJEMPLO:  (– 3) x (+ 5) = – 15

EJEMPLO:  (+ 3) x (– 5) = – 15

EJERCICIOS

NOMBRE: ______________________________________  CURSO: ______________________

Resolver los siguientes:

1.        (4)(-6)+(3)(8)-(-7)(-2)(-3)

2.        (-5)+(-3)-(2)(5)(-7)(-1)

3.        –(-3)(-1)-(-2)(2)-4)+(-9)-(8)

4.        (-3)(-2)(-5)(-4)-(5)(3)(2)

5.        {-5+3[-4-3(-5+2)]}-8(-4+1)

6.        5+22-6x4+8-4-4x7-5(-2)+9(-3)

7.        12-11+4-8(-6)+12(-3)

8.        7(-3)-14+5(2)+3(-4)

9.        14-3(5-7)+10(-1)

10.    -3+[2-5(-3)+2]-8

11.    -4-{-2[3(1-2)-1+5]-8+2}-1

12.    -8-{-2[-5(-3)+(1+7)-1-5]-8+2}-1

13.    Completa la siguiente tabla

x	-9	7	-8	6	-5	11
9
-6
-7
8
11
6

1.        -3-{-2-[-9-5(1-2)-7]-3(1-7)}-4
2.        3-{8+2[-3(2-4)-1]-1}-2

3.        -1-{-1[(-1(-1)-(-1)(-1)]-(-1)-1}-1

4.        {45/9-8[3-5(10/2-6)]+3}-1

CLASE DEL SÁBADO 13 DE ABRIL/2013
TEMA: TRIÁNGULOS
CONTENIDO: PERÍMETROS Y ÁREAS.
DESARROLLO:

DEFINICIONES

TRIÁNGULO es la porción del plano limitado por tres rectas que se cortan dos a dos, y tiene 3 lados y 3 ángulos.,

PERÍMETRO es la suma de los tres lados de un triángulo,

ÁREA es un valor numérico que representa una superficie, y se representa en unidades cuadradas,

TRIÁNGULO EQUILÁTERO es el que tiene los tres lados iguales,

TRIÁNGULO ISÓSCELES es El que tiene dos lados iguales,

TRIÁNGULO ESCALENO es el que no tiene lados iguales,

VÉRTICES DE UN TRIÁNGULO son los puntos de intersección de las tres rectas que lo forman,

TRIÁNGULO RECTÁNGULO es aquel que tiene 1 ángulo recto,

TRIÁNGULO ACUTÁNGULO es aquel que tiene 3 ángulos agudos,

TRIÁNGULO OBTUSÁNGULO es aquel que tiene un ángulo obtuso,

ÁNGULO RECTO es aquel que mide 90^o,

ÁNGULO AGUDO es aquel que mide menos de 90^o,

ÁNGULO OBTUSO es aquel que mide más de 90^o y menos de 180^o,

ALTURA DE UN TRIÁNGULO es aquella línea perpendicular trazada desde el vértice hasta el lado opuesto,

TRIÁNGULOS CONGRUENTES son aquellos que al superponerse coinciden o que tienen igual forma y tamaño

TRIÁNGULOS SEMEJANTES son aquellos que tienen sus ángulos iguales y sus lados son proporcionales

LAL significa LADO – ÁNGULO – LADO

ALA significa ÁNGULO – LADO – ÁNGULO

LLA significa LADO – LADO - ÁNGULO

Se revisaron los diversos conceptos, procedimientos y formulas para calcular áreas de triángulos.

Se envío deber.  Por favor revisar la página respectiva.


CLASE DEL SÁBADO 04 DE MAYO/2013
TEMA: FRACCIONES
CONTENIDO: NÚMEROS RACIONALES.
DESARROLLO: